机器学习中的损失函数

交叉熵

交叉熵 cross-entropy cost，是信息论中和“信息量”有关的一个概念。

信息量

首先是信息量。假设我们听到了两件事，分别如下：

• 事件A：巴西队进入了2018世界杯决赛圈。
• 事件B：中国队进入了2018世界杯决赛圈。
  仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。
  假设 $X$ 是一个离散型随机变量，其取值集合为 $\chi$,概率分布函数 $p(x)=Pr(X=x), x∈\chi$ 则定义事件 $X=x_0$ 的信息量为： $$I(x_0) = −log(p(x_0))$$

由于是概率所以 $p(x0)$ 的取值范围是 $[0,1]$ ,绘制为图形如下：

熵

考虑另一个问题，对于某个事件，有 $n$ 种可能性，每一种可能性都有一个概率 $p(xi)$
这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量

序号	事件	概率p	信息量I
A	电脑正常开机	0.7	-log(p(A))=0.36
B	电脑无法开机	0.2	-log(p(B))=1.61
C	电脑爆炸了	0.1	-log(p(C))=2.30

注：文中的对数均为自然对数

我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：

$$H(X)=-\sum_{i=1}^n p(x_i)log(p(x_i))$$

其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是

$$\begin{eqnarray} H(X)&=&-[p(A)log(p(A))+p(B)log(p(B))+p(C))log(p(C))]\\ &=&0.7\times 0.36+0.2\times 1.61+0.1\times 2.30\\ &=&0.804 \end{eqnarray}$$

然而有一类比较特殊的问题，比如投掷硬币只有两种可能，字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能，中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题（二项分布的特例），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式：

$$\begin{eqnarray} H(X)&=&-\sum_{i=1}^n p(x_i)log(p(x_i))\\ &=&-p(x)log(p(x))-(1-p(x))log(1-p(x)) \end{eqnarray}$$

相对熵（KL散度）

相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 $x$ 有两个单独的概率分布 $P(x)$ 和 $Q(x)$，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异.

维基百科对相对熵的定义

In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.
在机器学习问题中，KL散度是用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量。

同样的，在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1]。
直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。

KL散度的计算公式：

$$D_{KL}(p||q)=\sum_{i=1}^np(x_i)log(\frac{p(x_i)}{q(x_i)}) \tag{3.1}$$

n为事件的所有可能性。
$D_{KL}$ 的值越小，表示q分布和p分布越接近

交叉熵

对式3.1变形可以得到：

$$\begin{eqnarray} D_{KL}(p||q) &=& \sum_{i=1}^np(x_i)log(p(x_i))-\sum_{i=1}^np(x_i)log(q(x_i))\\ &=& -H(p(x))+[-\sum_{i=1}^np(x_i)log(q(x_i))] \end{eqnarray}$$

等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：

$$H(p,q)=-\sum_{i=1}^np(x_i)log(q(x_i))$$

在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即$D_{KL}(y||\hat{y})$ ，由于KL散度中的前一部分$−H(y)$不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。

机器学习中交叉熵的应用

为什么要用交叉熵做loss函数？

在线性回归问题中，常常使用MSE（Mean Squared Error）作为loss函数，比如：

$$loss = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(y_i-\hat{y_i})^2$$

这里的m表示m个样本的，loss为m个样本的loss均值。
MSE在线性回归问题中比较好用，那么在逻辑分类问题中还是如此么？

sigmoid函数在反向传播求导的过程中，并不一定偏差越大下降越快：https://blog.csdn.net/zhouguangfei0717/article/details/78609072

交叉熵在单分类问题中的使用

这里的单类别是指，每一张图像样本只能有一个类别，比如只能是狗或只能是猫。
交叉熵在单分类问题上基本是标配的方法

$$loss=-\sum_{i=1}^{n}y_ilog(\hat{y_i}) \tag{2.1}$$

上式为一张样本的loss计算方法。式2.1中n代表着n种类别。
举例说明,比如有如下样本

对应的标签和预测值

*	猫	青蛙	老鼠
Label	0	1	0
Pred	0.3	0.6	0.1

那么

$$\begin{eqnarray} loss&=&-(0\times log(0.3)+1\times log(0.6)+0\times log(0.1)\\ &=&-log(0.6) \end{eqnarray}$$

对应一个batch的loss就是

$$loss=-\frac{1}{m}\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^{n}y_{ji}log(\hat{y_{ji}})$$

m为当前batch的样本数

交叉熵在多分类问题中的使用

这里的多类别是指，每一张图像样本可以有多个类别，比如同时包含一只猫和一只狗。
和单分类问题的标签不同，多分类的标签是n-hot。
比如下面这张样本图，即有青蛙，又有老鼠，所以是一个多分类问题

对应的标签和预测值

*	猫	青蛙	老鼠
Label	0	1	1
Pred	0.1	0.7	0.8

值得注意的是，这里的Pred不再是通过softmax计算的了，这里采用的是sigmoid。将每一个节点的输出归一化到[0,1]之间。所有Pred值的和也不再为1。换句话说，就是每一个Label都是独立分布的，相互之间没有影响。所以交叉熵在这里是单独对每一个节点进行计算，每一个节点只有两种可能值，所以是一个二项分布。前面说过对于二项分布这种特殊的分布，熵的计算可以进行简化。

同样的，交叉熵的计算也可以简化，即

$$loss =-ylog(\hat{y})-(1-y)log(1-\hat{y})$$

注意，上式只是针对一个节点的计算公式。这一点一定要和单分类loss区分开来。

例子中可以计算为：

$$\begin{eqnarray} loss_猫 &=&-0\times log(0.1)-(1-0)log(1-0.1)=-log(0.9)\\ loss_蛙 &=&-1\times log(0.7)-(1-1)log(1-0.7)=-log(0.7)\\ loss_鼠 &=&-1\times log(0.8)-(1-1)log(1-0.8)=-log(0.8) \end{eqnarray}$$

单张样本的loss即为$loss = loss_猫+loss_蛙+loss_鼠$

每一个batch的loss就是：

$$loss =\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}-y_{ji}log(\hat{y_{ji}})-(1-y_{ji})log(1-\hat{y_{ji}})$$

式中m为当前batch中的样本量，n为类别数。

参考

史丹利复合田 - 一文搞懂交叉熵在机器学习中的使用，透彻理解交叉熵背后的直觉 https://blog.csdn.net/tsyccnh/article/details/79163834